VERHANDELINGE
Van de Grontregelen der
DOORZIGTKUNDE,
O F
TEKENKONST (PERSPECTIEF,)
Leerende de middelen en wyze, hoe alles in de Doorzigtkunde, kan
werden afgeteekend.
Zeer dienflig voor Bouwmeefters, Schilders, Teekenaars, enz.
Op een korte manier afgebeeld en voorgedraagen ,
Door HENDRIK van H 0 V T E N.
By JAN ten HOORN, Boekverkoper, 1707.
.
VOORREDEN
Aan den Konft-beminnende
L E E Z E R.
At de Doorzigtkunde van veel nut en groot gebruik is, behoeven
!wy met veel omftandigheeden en omweegen niet te verklaaren
“maar d’ervarentheit toont’t genoeg aan die geen, dewelke hem van noden heeft; waar van wel de voornaamfte zyn, alIeBouwmeefters,
Schilders en Tekenaars, want men kan geen twee Voorbeelden op een
plat vlak vertoonen , en die verfcheiden van ftant of plaats zyn , of
de Doorzigtkunde openbaart zig hier aanftonts in.
Darom hebben wy ons verpligt gevonden , ( niet alleen om ’t groot gebruiks halven; maar ook, om dat wy bevonden hebben, dat ’er van deze ftof, zo wynig in onze Nederlantfche Spraak te vinden is, ) de voornaamde gront regelen der Doorzigtkunde in ’t ligt te geeven, tot nut en dienft voor die geen , de welke deeze Konft beminnen. Ik wil myn niet verzeekeren , dat ik zo volmaakt zalhebben gefchreeven, om ieder der Onderzoekers volkome genoegen te geeven, te weeten, dat men alles zo ten eerften zal kunnen verftaan, zonder behulp van eenig onderwys, ’t welk zoo myn dunkt ondoenlyk is: maar behalven dit, fchoon dat ’t zo naakt en klaar was, zo vereift deze Konft dat eenzelfde zaak, wel meer als eenmaal onderzogt wil zyn, om tot de volkome verftaaning hier van te geraaken : dierhalven verzoeken wy van die geen die ons gefchrift, of beter de befchreevene grontregelen der Doorzigtzigtkunde, zo waardig agten, om het t’onderzoeken, hier niet zo ligtelyk van af ftappen, met het maareens te doorzien, om ’er de grondige kennis van te hebben: maar wy zouden gaarn zien, dat men ’t ten minften eenige maalen onderzogt, vermits zulks doende de weg is , om’t klaar en naakt voor ’t verftant te brengen, ’t welk die geen zal bevinden, die hier in volgens onze begeerte, geen verdriet heeft.
Wy hebben alleen aangeteekent deze gevallen, die ons dagten ’t meefte tot ’t gebruik te dienen , waarvan de voornaamfte zyn aangeteekent in ons tweede, derde en vierde Deel, behalven dat in’t eerfte Hooftduk van ’t eerfte Deel, de volftrekte grontregels zyn getoont, waar van de Doorzigtkunde 'volmaakt afhangt ; want al ’t volgende daar door moet werden beweezen: maar die geen , de welke geen beginzel van de wiskonft heeft, kan alleen beginnen van ons tweede Deel, alwaar alles eenvoudig door Regels wert afgeteekent, enz.
...
I N H O U T
DEZES
O E K S.
N het eerfte Hooft-ftuk van het eerfte Deel, hebben wy dc
gront der Doorzigtkunde getoont, en de zelve volftrekt
Wiskonftig beweezen.
In het tweede Hoofdftuk hebben wy geftelt eenige Vraagftukken,
met een byvoegzel van eenige werkdaadige Werkftukken.
In ’t tweede Deel en eerfte Hooftftuk , hebben wy de Regels be-
fchreeven, zo als de zelve tot het gebruik van de Doorzigtkunde be-
hooren; en deze zelfde Regels toegepaft tot de vlakke, lighamelyke,
zo wel hangende als leunende Voorbeelden, ’t zy dat de zelve even-
wydig of onevenwijdig met de grondlyn zyn : en vervolgens getoont
in de volgende Hooftftukken ’t gebruik van deze Regel tot onderfchei-
delyke gevallen tot aan ’t vyfde Hooftftuk toe.
In ’t vyfde Hoofdftuk hebben wy getoont de Regels van de Zon en
Kaars Schaaduen, en de wyze , hoe de zelve zullen moeten werden
gevonden: met een byvoegzel, om de weerfchyn in ’t water te vinden.
In ’t derde Deel vertoonen wy de gelykzydige lighaamen , om der zelver gront en verheeve teekening te vinden , als ook hoe men de zelve na de gemelde Regel in de Doorzigtkunde zal afteekenen.
In ’t vierde en laatfte Deel wert vertoont, hoe men alle de Zolderftukken in de Doorzigtkunde kan alteekenen, dat is, al’t geen men van onder na boven ziet, om de verkorting te vinden, als ook om van boven na beneden te zien.
VAN DE
DOORZIGT-KUNDE,
TEKENKONST (PERSPECTIEF,)
Erwyl het niet nootzakelyk is , in die dingen , die de
Wiskonft betreffen, veel omftandigheden van woorden te ge-
bruiken, zo zullen wy het ook onnodig houden , hier veel
welfpreekende omwegen te zoeken : maar wy zullen agten
voldaan te hebben, zo wanneer wy zo veel ons mogelyk is , de zaak
eenvoudiglyk komen voor te dragen. Weet dan dat U E. hier vertoont
werd de grontregelen der Doorzigtkunde ( perspectief) werdende
met deze naam, zodanig by ons afgebeelt ; en op een wyze , gelyk
die natuurelyk uit zyn eerfte oorzaak geboren werd : Met van d’een-
voudigfte te beginnen , en tot de fwaarder voort te gaan , gelyk als in
’t gevolg blykt : waar in wy eerftelyk van de voorftellen hebben
begonnen (behalve eenige weinige bepalingen, die nootzakelyk moe-
ten voor af gaan, ) daar na van de Vraagftukken ; en zo vervolgens
de Werkftukken : om dat alles onderfcheidelyk zoude kunnen werden
verftaan.
Deze Wetenfchap dan is zodanig, datze door regelen leert vinden
d’aftekening of omtrek van een gegeve bepaalt voorbeelt , op een ge-
geve plat vlak, met een gegeve ftant : zulks als dezeftant behorelyk
geplaatft is, zo zal ons het Voorbeelt hier door zodanig vertonen, als
of wy het zelfs zagen. Maar om uit te fluiten het geene totde Schil-
derkonft behoort, zo zeggen wy door regelen , en niet enkel yk het
Of
EERSTE D E E L.
L HOOFD-STUK.
Van d'eigenfchappen en hoedanigheden, welke in deze wetenfchap
moet waargenomen werden.
voorbeelt zelfs: want wy gaan door regelen, ende Schilders alleen op het oog: wy tekenen ook alleenlyk af de omtrekken van ’t geheel, en de deelen in ’t bezonder, en zy alle tuffcheplaatfen : wy tekenen ook alleenlyk af de bepaalde Voorbeelden , en de Schilders alle zonder onderfcheit; voorts al het geen, ’t welk hier gezegt is, moet zo wel op de fchaduw , dewelke het lichaam van zig geeft verftaan werden, als van het lichaam zelfs ; omdat wy dit mede verhandelen zullen. Wy zullen ook afteekenen de vermindering van ieder bepaalt lichaam, vlak of lyn: ook de fchaduw van de Zon of Kaars, om uit te fluiten, het geen van den dag voortgebragt wert, ’t welk men niet wel bepalen kan, vermits het een algemeen ligt is.
Wyders in de Schilderkonft wert alles waargenomen , maar in de Doorzigtkunde alleen dat geene , ’t welk bepaalt kan werden : dierhalven de Schilderkonft gaat zonder , maar de Doorzigtkunde met volkome regelen; en by gevolg, kan de Schilderkonft miffen, maar de Doorzigtkunde niet : daarom als men door middel van de Doorzigtkunde de omtrekken bepaalt., endoordeSchilderkonftalledetuflchen plaatzen vult, zo kunnen de Voorbeelden volkomen werden; en hier om heeft de Schilderkonft de Doorzigtkunde van nooden , maar de Doorzigtkunde de Schilderkonft niet: een Schilder die hen byde befit, kan volmaakt werden.
Om dan een grondige kennis van de Doorzigtkunde te krygen, zo wert hier toe vereift , eenige wetenfehap van de gront en verheve tekening te hebben, dat is , de lconographia en de Orthographia , die feer ligt van die genen verftaan wert, dewelke alree de beginfelen der Meetkonft geleert hebben ; en wy verzoeken ook van die geen , de welke de Doorzigtkunde grondig begeeren te verftaan, dat fe ten minften de grond der Meetkonft leeren, om dat al het geen , ’t welk hier aan volgt, volmaaktlyk daar van afhangt.
Nu om dan terzake te komen , en fonder omwegen te gebruiken, en ook om alle duifterheit te myden, zo fullen wy eenige bepalingen der namen voor af laten gaan , die ons dienftig fyn te kennen, en ook tot de Doorzigtkunde behoren.
I. Bepaling , het geene waar op de afteekening gefchiet of gedaan wert, zullen wy Glas noemen; eerftelyk om dat ’t als doorfchynent aangemerkt werd, en ten anderen om dat het van outs zo genoemt is: fchoon’tgemeenlyk Papier, Doek of Panneel is, daar d’aftekening op gedaan wert.
II. Bepaling , gezigteinder (Horizont) is dat geen , aan’t welk het gezigt eindigt, of is het uiterfte einde van het gezigt.
III. Bepaling, Oogpunt is’t uiterfte punt van de ftraal, getogen
van het oog tot den gezigteinder: en verandert dit punt zo menigmaal
als de ftant van den ziender verandert.
IV. Bepaling , By voorwerp ( objectum ) verftaan wy het ding,
’t welk aan den ziender vertoont wert : dat wezen kan , of op de
gront of in de lucht; en regt of fcheefhoekig op de zelfde gront.
V. Bepaling , De aftekening van een punt, is in de fnee, van de
ftraal, die van het voorwerp tot het oog gaat, in een rechte lyn, door
het glas.
En dit is genoeg van de bepalingen , de reft zal zeer ligt verftaan
werden , en zonder duifterheit zyn: en dierhalven zullen wy de vol-
gende hoedanigheden en eigenfchappen voordragen , om dat ze ons
zeer dienftig zyn; en ook , om de geenen welke daar aan volgen,
door te bewyfen.
I. Voorftel.
Indien het voorwerp een rechte lyn is, zo zal mede de aftekening
een rechte lyn wefen.
Laat in dit nevenftaande Voorbeelt
B C het voorwerp een rechte lyn
wezen, ( Q het glas ) zo zal D E
d’aftekening op dit glas, mede een
rechte lyn zyn.
Bewys.
Dit blykt hier uit, aanmerkende
dat ABCA een plat vlak is, zo wel
als het glas Q, en dat deze beide vlakken elkander doorfnyden , zo is haar gemeene fnee, de rechte lyn DE: naar de 3 prop. van het 11 boek Euclidus; maar D E is de aftekening van B C , dieshalven de aftekening DE een rechte lyn, ’t geene enz.
II. Voorftel.
Indien het voorwerp een regte lyn is, evenwydig aan het glas, zo zal de aftekening mede een regte lyn wefen, evenwydig aan het voorwerp.
Zo B C het voorwerp evenwy-
dig aan het glas Q is , zo fal de af-
tekening F G evenwydig aan het
voorwerp zyn.
Bewys.
Aanmerkt in dit nevenftaande
Voorbeelt B C het voorwerp evenwydig aan het glas Q te zyn , en
laat ook het vlak A B C A van het
glas doorfneden werden , zo is naar het eerfte voorftel haar gemeene
fnee (die F G is) een rechte lyn, en overfulks is F G d’aftekening ,
evenwydig aan het voorwerp BC , na de 16 prop. van het 11 boek
Euclidus: ’t genen men bewyfen moet.
Gevolg.
Indien ’er een onderlinge evenwydigheit in de voorwerpen is , en
aan haar zelfs en aan het glas, zo zullen ook de aftekeningen onder-
ling evenwydig zyn: want na ’t tweede voorftel is de aftekening F G,
evenwydig B C, ook H I aan D E , maar B C is evenwydig DE,
dierhalven F G evenwydig HI: na de 30 pro. 1 boek Eucl., ’t gene enz.
III. Voorftel.
Indien eenig plat vlakkig voorbeelt, evenwydig aan het glas is , zo
zal ook de aftekening evenwydig en gelykformig aan het voorwerp zyn.
Zo P evenwydig aan het glas is , zo zal q
de aftekening evenwydig en gelykvormig aan
het voorwerp zyn.
Bewijs.
B c is evenwydig BC : en BD evenwydig
b d; na ’t tweede voorftel : en dus met d’an-
deren : en dieshalven zyn de hoeken D B C ,
d b c even wyt en overzulks is
bc - - BC — Ab - - AB en
bd- - BD — Ab - - A B
en daarom bc - - b d — B C - - B D.
en zo ook met d’andere , en vermits de hoeken gelyk , en de zyde om deze hoeken evenredig zyn, daarom zyn de voorbeelden gelykvormig; ’t gene enz. en datze evenwydig zyn , is klaar genoeg door ’t eerfte en tweede Voorftel. Merkt dat wy by - - verfla tot, en by ---- als, en wederom by - - tot ; zodat ’t, het zelfden is, of men ftelt bc - - BC - - Ab - - AB, dan of men zegt bc tot BC als A b tot A B.
IV. Voorftel.
Indien het voorwerp een oneindige rechte lyn is, onevenwydigaan
het glas , en die het glas aan de gront floot, zo is de afteekening die
lyn , dewelke getogen wert op het glas , van het flotende punt tot
aan de lyn of draal, die getrokken is evenwydig aan het voorwerp, tot
dat die het glas raakt.
Indien in dit nevendaande
Voorbeelt , B C onevenwydig aan
het glas Q_is, zodanig dat die het
glas in B ftoot, en indien A O die
genen is, dewelke evenwydig aan
B C is , en het plat vlakkig glas
Q ontmoet in O , zo zal B O,
de afteekening van d’oneindige
BC zyn: indien men zig verheelt
dat C oneindig van B is: maar nu
is B P de aftekening van B C.
Bewys.
Om dat B C en A O evenwy-
dig zyn , daarom is A C en B O
mede in ’t zelfde vlak , waar in
dat BC en AO is, (7 prop. des
11 Eucl.) dat is, alle deze lijnen
zyn in een zelfde vlak ; en dies-
halven moeten AC, B O elkan-
der zekerlyk fnyden: en vermits
d’eene n B O in het glas is, daarom
moet de fnyding P nootzakelyk
6 Van de Door zigt kunde, of
in het glas zyn-, en hier uit blykt, dat de aftekening van alle de punten in de lyn BC, in BO moeten vallen, gelyk ook zekerlyk D in L valt: C in 't oneindig van B nemende, zo zal P ook oneindig van B komen, of in ’t oneindig nader aan O ; en om dat ’t verfchil tuffen P en O (hoe P nader aan O komt) zo klein zal werden, ja minder als de minfte grootheit , die men zal kunnen bedenken , zo ftelt men die gelyk niets, dat is P in O ; en dierhalven is B O de afteekc- ning van de oneindige B C , indien E oneindig ver van B genoomen word , ’t geene enz.
V. Voorftel.
Zo ’er verfcheide lynen onderling evenwydig, en onevenwydig aan
het glas zyn, zo vergaren hun afteekeningen, wanneer men hen ver-
lengt, alle in dat punt, daar de ftraal die evenwydig aan het voorwerp
getogen is, het glas floot.
Zo B P en F L verlengt werden, zo zullen die vergaren in O.
Bewys:
Na het 4 Voorftel is
P de aftekening van C,
en L degene van D; en
om dat A O evenwydig
B C is, daarom is den
hoek O A P gelyk BCP:
(27 prop des 1 Eucl.)
en als B P tot O verlengt
wert, zo zal den hoek
APO gelyk CPB wezen, ( 15 prop. des 1 Eucl.) en by gevolg den hoek AOP , gelyk C BP : (16 prop. des 1 Eucl.) dat is , de verlengde BP in O ; en om de zelfde reden de verlengde FLin O, ‘t gene enz.
VI. Voorftel.
Indien’er in een zelfde vlakte, verfcheide lynen by verdeling onderling evenwydig , en onevenwydig aan het glas zyn , zoo zullen
hun aftekeningen alle niet in een zelfde punt vergaren ; maar de ver-
gaar punten, zullen in een zelfde lyn zyn, die op het glas getogen is
evenwydig aan de fne van het glas, en het vlak, waar in dat de voor-
werpen zyn.
In dit nevenftaande
Voorbeelt is B C evenwydig F D , en BI evenwydig FH, en alle in een zelfde vlak, welke vlak het glas Q fnyt
met de lyn B F : daarom zullen de evenwydige B C, F D vergaren in het punt O; ende evenwydige B I , F H zullen vergaaren in het
ander punt o ; en zo
men dan getogen heeft
O o, die zal evenwydig
zyn met de fnee BF,
Beweys.
AO is evenwydig BC, en Ao evenwydig F H, naar het 5 Voorftel, en BC, F H zyn in een zelfde vlakte , dierhalven is het vlak A O o evenwydig aan het vlak BFHCB : 15 des 11 Eucl.) of dat het zelfden is, het vlak AO o is evenwydig aan het vlak waar in de voorwerpen zyn; en vermits B F en O o fneden van deze evenwydige vlaktens en het glas zyn, daarom is O o evenwydig B F, na de 16 des 11 Eucli. en dus met de anderen, ’t geenen enz.
II. HOOFD-STUK.
Van de algemeene regelen tot de Doorzigtkunde, het glas regt of fcheefhoekig op de gront zynde, hun aftekeningen te vinden.
O
M dat de punten de lynen bepalen, de lynen de vlaktens, en de
vlaktens de lighamen, zo zal ’t geoorloft wezen , dat wy eerft
re*
8 Van de 'Doorzigtkundc, of
regelen op de aftekening der punten geven , en om dat een punt kan
gegeven werden, of op de gront of in de lugt , zoo zullen wy hen
beiden van noden hebben; en terwyl het glas voor of agter het voor-
werp kan zyn, recht of fcheefhoekig op de gront, zo zullen wy dit
niet overflaan.
En vermits in zodanigen geval, gegeven is de fnee van de glasgront,
den hoek die het glas met de gront maakt, de zienders voet ; en de
hoogten van ’t oog boven de voet; ook de voorwerpen op de gront,
of in de lugt, zo kan hier op aangemerkt werden , dit navolgende.
1. Vraagftuk.
Indien de hoogten des zienders , het glas regthoekig op de gront ,
en het voorwerp agter het glas op de zelfde gront gegeven is, de af-
tekening te vinden.
De hoogten des
zienders is V A: het
glas regthoekig op
de gront is Q ; en
het voorwerp agter
het glas (zynde een
punt) is C.
Ontbinding , trek
van de voet des zien-
ders (in ’t neven-
ftaande voorbeelt)
de gront-lyn V G, zodanig, dat die het
glas Q regthoekig
raakt in G : trekt
ook van ’t punt C
de grontlyn C B, evenwydig aan V G ; en trekt meede van het oog
A, een lyn of ftraal (evenwydig aan BC) tot dat die het glas (loot
in O; die is de geene , dewelke men oogpunt noemt : maar O A
wert afftant geheeten , en daarom A het afftant punt. Trekt ook
langs de vlakten van het glas , en regthoekig op V G de lyn G O :
trekt ook van ’t punt, B en regthoekig op B C, B F, langs de vlakten van ’t
glas, en in lengten na gevallen ; trek mede met de wyten O A uit het punt
O een boog, tot dat die O G fnyt in D, zo is O D gelyk O A ; en laat ook
getogen zyn uit het punt B, met de wy ten BC den boog CF, zo is B F gelyk B C : en voor ’t laatft getoogen hebbende B O , D F en A , zo fnyden deze drie lynen elkander in het punt P, de welke de aftekening is van C.
Men kan dit ligtelyk betogen ; want na het 4 Voorftel is Pd d’aftekening van C; en na ’t 5 Voorftel komt de verlengde B P in O; en om dat A O evenwydig aan B C is, daarom is den hoek A O P gelyk PBC, na de 27 prop. des 1 Eucli. en den hoek AOP gelyk CPB, na de 15 pr. des 1 Eucli. en by gevolg zyn de drie hoeken AOPA en C B P C gelykhoekig , en over zulks de zyde, om gelyke hoeken, evenredig, 4 pr. des 6 Eucli.
Dat is AO - - BC OP - - BP en
AO - - BC —~ AP - - CP of
D O - - B F O P - - B P en daarom.
DO - - BF DP - - FP.
Want DO en B F in plaats van A O en BC nemende, om dat ze hier aangelyk zyn, en vermits de reden de zelfde blyft ; zoo betoont dit, dat P de ware afteekening is van C, of dat P het doorzigt punt is, ’t genen enz.
II. Vraagftuk.
Indien de hoogten des zienders gegeven is , het glas fcheefhoekig
op de gront, hellende van den ziender af, en ’t voorwerp agter het
glas op de zelfde gront, de aftekening te vinden.
De hoogten van den ziender
]#is V A: het glas hellende van den
ziender af is Q.J en het voorwerp
agter het glas is C ; of men kan
het ook voor B C neemen , en
dan is ’t voorwerp een rechte
lyn.
Ontbinding; trekt van de voet
des zienders de regte lyn V G e-
venwydig aan B C : trekt uit ’t
punt G regthoekig op V G de
lyn G K , tot dat die de ftraal
getogen uit A en evenwydig aan B C raakt in K; maar om dat deze
G K buiten het glas is, zo kan die ’t begeerde niet voldoen ; daarom
moet de draal A K verlengt werden , tot dat die het glas floot, ais
hier in O, en dan is A O de atftant: trekt ook van O een Iyn op de
vlaktens van het glas totG , zo wyft den hoek K G O aan ,de helling
van het glas: voorts maakt O D gelyk OA, en BF (die evenwydig
is aan G O ) gelyk B C ; en voor ’t laatft getogen hebbende B O, F D
en A C, zo is P de aftekening van C , of C is het doorzigt punt be-
palende de lyn B P; ’t bewys hier af volgt klaar uit ’t gene in ’t eerfte
Vraagftuk betoogt is : want de driehoeken A O P en C B P zyn ge-
lvkhoekig, en overzulks zyn de zyde, om gelykehoeken, evenredig ,
Dat is A O - - B C O P - - B P en
AO - - BC AP - - CP ook
O D - - B F O P - - B P en daarom
OD - - BF — DP - - FP.
Ik ftel in plaats van A O en B C, O D en B F, en om dat de redern
de zelfde blyft, zo betoont dit dat BP de ware aftekening is van B C,
’t geene enz.
Indien de hoogten des zienders, het glas fcheefhoekig op de gront hellende na den .ziender toe , en het voorwerp agter het glas op de zelfde gront gegeven is, de aftekening te vinden.
III. Vraagftuk.
Q ’t glas hellende na den
In dit nevenftaande
Voorbeelt is V A de
hoogten des zienders :
^ ziender toe : C ’t voor-
werp op de gront en ag-
ter het glas: of men kan
het ook voor B C nemen,
en dan is het voorwerp
een rechte lyn.
Ontbinding ; in deze
is de bewerking’t zelfde als in ’t tweede Vraag- ftuk getoont is, behal ven
het afftant punt, en den hoek O G K wyft aan de helling van ’t glas} en men ziet ook ligtclyk dat de driehoeken AOPAenCBPCgelyk- hoekig zyn, en by gevolg de zyde om gelyke hoeken evenredig , en dit met hettweede Vraagftuk vergeleken, men zal bevinden dat P de waaragtige aftekening is van C : of anders BP de geene van B C, en dit is genoeg van dit Vraagftuk.
IV Vraagftuk.
Indien de hoogten van den ziender, ’t glas regthoekig opdegrpnt, de voorwerpen agter ’t glas, en onderling evenwydig en onevenwydig aan ’t glas en aan de gront gegeven zyn , de aftekening te vinden.
De hoogten
des zienders is
V A: ’t glas regt-
hoekig op de
gront is :
en de voorwer-
pen achter het
glas onevenwy-
dig aan de gront
en aan ’t glas
zyn B F, DG
en LH: en alle
onderling even-
wydig.
Ontbinding ;
trekt van de voet des zienders V D evenwydig aan B C : trekt van ’t
punt D , die de gront van het glas raakt, een lyn na gevallen op de
vlakten van het glas, en regthoekig op VD: laat ook getogen zyn,de
ftraal van A, en evenwydig aan BC , tot dat die de lyn getoogen op
de vlakten van ’t glas, en regthoekig op VD raakt in O: maar om dat
de voorwerpen buiten dit punt zullen vergaren , zo trekt van A een
ftraal evenwydig aan B F, tot dat die de verlengde D O fnyt, als hier
in K, die is ’t vergaar punt: trek dan LK en BK, en voor ’t laatft
AF, A G en A H , zo zyn de punten P , I en M de afteekeningen
van F, G en H; of anders, BP, Dl en LM, zyn de ware afteeke-
ningen van BF, DGenLH,
De hoogten des zienders is
VA: ’t glas regthoekig op de
gront is Q ; en ’t voorwerp
agter ’t glas regthoekig op de
zelfde gront is DC.
Ontbinding; trekt van de
voet des zienders V C , dee-
ze wert regthoekig doorfnee-
den van de vlakten van ’tglas,
in ’t punt B: trekt van A een
ftraal ( evenwydig aan V C )
tot dat die de vlakten van ’t
glas raakt; trekt dan uit ’t punt
B, regthoekig op V C een
lyn , tot dat die de ftraal ge-
togen uit A, fnyt in O, die is ’t oog en A ’t afftant punt, en voor ’t laatft getogen A D en A C, dewelken B O doorfnyden in de punten F en P , zo is P F de aftekening van C D.
Hec Bewys hier af is klaar , want het glas Q. is regthoekig op de
gront, en C D is mede regthoekig op de zelfde gront, en daarom is
C D evenwydig aan ’t glas Q_: en dierhalvcn wert het vlak A D C A
doorfneeden evenwydig van ’t voorwerp, na ’t 2 voorftel, welkers ge-
meene fnee P F is; en om dat de driehoeken P O A P, P B C P gelyk-
hoekig zyn, daarom zyn de zyde om gelyke hoeken evenredig , en
overzulks is P de afteekening van C, en om de zelfde reden is P F de
afteekening van D: ’t welk genoegzaam in de voorgaande vraagftuk-
ken bewezen is: en vermits de punten de lynen bepalen , gelyk alree
gezegt is , daarom is P F de waare afteekening van D C , ’t geene
enz.
VII. Vraagftuk.
Indien het voorbeeld een vierkant is, en van dit zelfde voorbeeldde afteekening in de doorzigtkunde gegeeven is, de afftant te vinden. Het voorbeelt is AF G DA de afteekening in de doorzigtkunde is ABCDA.
Ontbinding; verlengt AB, DCdeze fnyden malkander in de gezigteinder in O: trekt de hoek lyn AC, deze fnyt de gezigteinder in : trek uit JM de regthoekige N M op A D: trekt ook de ly n A G, en
verlengt O S, en getogen van M een lyn evenwydig aan AG, deze fnyt de verlengde OS in P; en daarom zal P S gelyk ONofSM wezen, en overzulks is ON of S P de afftant : ’t welk zeer ligt te bewyzen is verlengt GD tot Q, zoo zyn de driehoeken M D QM, M S P M gelykhoekig om dat den hoek M aan hen bei-
de gemeen is , en de zyde D evenwydig aan SP: maar den driehoek AGDA is ook gelykhoekig aan den driehoek D Q M D , om dat den hoek A D G gelyk aan
,. QD M is , en G A evenwydig aan MQ; en daarom is dan ook den driehoek AGDA gelykhoekig aan den driehoek M S P M, en overzulks zyn de zyde om gelyke hoeken evenredig, na de 4 prop. 6 i. Eucl.
En daarom A D—AG —DM maarONofSM- SP - AD -DG
AG, DM
30 M en
[tekst weggevallen]
AD
DM - AG, DM - GD-AG ~D
DM, AG 30 AG,DM, cD A D
DM, AG ■— —- deelt
0 ® GD? of,
AD
SJd, DG »SP,AD
, . SM,DG
dat is , 3o A D en
SP (daarom
GD
SM, DG
~SP~
30 GD
SM
*SF
deelt
30 o of
Ergo AD 30 GD
SM au SP dat
men bewyzen moeft.
Indien een doorzigtkundige afteekening gegeeven is, en de lengte
hoe ver de zelve van de glas gront legt: te vinden het oogpunt, de
lengten van de afftant des zienders , ook het voorheek waar van de
doorzigtkundige afteekening voort gekomen is.
Laat abc da de
Doorzigtkundige
afteekening zyn ,
en A B de lengten,
zo ver het voor-
heek abc da van
de glas gront leit.
Ontbinding ;
—verlengt a b en d c
tot dat ze malkan-
der fnyden , als
hier in O, die is
’t oogpunt, na ’t
7 vraagftuk : laat
ook verlengt wer-
den de hoeklyn
G a c, tot dat die
de Gezigteinder
fnyt in Q, zo is
deeze Q het afftant punt : trek uit Q de regthoekige Q N op de grontlyn G N, en wanneer O P verlengt is, zo maakt P S gelyk N P, en getogen NS, zo is PS de afftant, na ’t 7 vraagftuk; wyders verlengt Z E na believen, en om dat AB aan A G gelyk is, zo trekt van B een lyn evenwydig aan S N , deze fnyt de verlengde Z E in D , en getoogen BE, DC beide evenwydig aan de grontlyn G N , zoo is BEDCB het voorbeelt waar van abc da de doorzigtkunde afge- teekent is, want na ’t 1 voorftel is bc de afteekening van AZ, en van F G, maar a b is ook de afteekening van F G, en dierhalven is a b c d a en vierkant; en overzulks ook B C D E B een vierkant, ’t geen men be- wyzen moeft.
J6
VIII. Vraagftuk.
Indien een doorzigtkundige afteekening gegeeven is, en de lengte
hoe ver de zelve van de glas gront legt: te vinden het oogpunt, de
lengten van de afftant des zienders , • ook het voorheek waar van de
doorzigtkundige afteekening voort gekomen is.
Laat abc da de Doorzigtkundige afteekening zyn , en AB de lengten, zo ver het voorbeelt abc da van
de glas gront leit.
Ontbinding ;
verlengt a b en d c
^ tot datze malkan-
der fnyden , als
hier in O, die is
’t oogpunt, na ’t
7 vraagftuk : laat
ook verlengt wer-
den de hoeklyn
G a c, tot dat die
de Gezigteinder
fnyt in Q zo is
deeze Q het afftant punt : trek uit Q de regthoekige Q N op de grontlyn G N, en wanneer O P verlengt is, zo maakt P S gelykN P, en getogen NS, zo is PS de afftant, na ’t 7 vraagftuk; wyders verlengt ZE na believen, en om dat AB aan A G gelyk is, zo trekt van B een lyn evenwydig aan S N , deze fnyt de verlengde Z E in D , en getoogen B E, D C beide evenwydig aan de grontlyn G N , zoo is BEDCB het voorbeelt waar van a b c d a de doorzigtkunde afgeteekent is, want na ’t 1 voorftel is bc de afteekening van AZ, en van FG, maar ab is ook de afteekening van EG, en dierhalven isabcdaen vierkant; en overzulks ook BC DE B een vierkant, ’t geen men bewyzen moeft.
■
K
M
/N
IX Vraagftuk.
Gegeven zynde het langront d’afftant van de glas gront en de gront Iyn: het oogpunt, en afftant van den ziender te vinden : als ook ’t voorbeelt, waar van het langront inde doorzigtkundeafgetekent is.
Het langront alree in de doorzigtkunde afgeteekent, (en ’twelk gegeven is) is A B: d’afftant, dat is zo ver ’t langront van de gront aflyt is E S.
Ontbinding ; trekt de raak lynen D A O, E BOdewelkezig vergaren in O, zo is O ’t oogpunt,
enDEisdewaare lengte van de middellyn. Maakt EK gelykES , en getogen
van K een lyn door V ( het middelpunt van ’t langront) deze fnyt de gezichteinder in C, zo is deze C’t afftant punt:
trekt uit C de rechthoekige C N op degrontlyn, en maakt op de verlengde OM, MR gelyk M N , en getogen NR, zo is M R de afftant van den ziender , gelyk in ’t 7 vraagftuk beweezen is ; wyders verlengt E S en hier aan evenwydig DT : trekt uit S een lyn evenwydig aan N R , deze fnyt de verlengde D T in T : voorts maakt S L gelyk aan K P, (te weten, als men van C een lyn getogen heeft door B, de welke de grontlyn fnyt in P) zo is deze S L de halve middellyn
van het begeerde ront, trekt van S en L twee lynen evenwijdig aan de grontlijn DE, zo zal L Q de lyn S T in twee gelyke deelen in X, deze is ’t middelpunt van het ront Q L; en dat Q L de ware middellijn van ’t begeerde ront is, volgt hier uit klaar genoeg , te weeten , om dat O V tot AB, als OM tot DE is, maar DE is gelijk en evenwydig aan QL, en daarom QL de waare middellyn.
Indien men om ’t langront A B een zodanigen vierkant befchryfd , gelyk hier gedaan is, door ’t trekken van de raaklijnenHI, FG, zo zal het middelpunt van H G altyt vallen in ’t middelpunt van ’t lang tont. Want
OY YF.
OV — VA.
OV —-VA.
OW WH.
En daarom Y F V A V A —— W H.
Uit deze vergelyking volgt ’t geene gezegt is: dat is, om dat V A midden evenwijdig tuiffchen YFen W H is, daarom valt ’tmiddepunt van H G in 't middelpunt van V, van ’t langront A B.
Voorts door deeze regel kan men altyt vinden de afftant van den ziender, het oogpunt in de gezichteinder, en’t voorbeelt zelfs, wanneer ’t voorwerp alree in de doorzichtkuude afgetekent, gegeeven is: ’t zy of de zelve evenwydig of onevenwydig met de gront zijn. Wy hebben maar alleen deze aangetekend, de welke evenwijdig met de gront zijn : d’andere zijn alzo eenvoudig, en wy agten , dat die van zelfs door U E. zullen kunnen werden gevonden : hoewel ze niet zo nut als wel aanmerkelijk zyn.
Wyders in ’t eerfte Hooftftuk is aangeweezen de natuur en eigenfchap der voorwerpen, de welke op ’t glas afgeteekent werden; en de gelijkvormigheit met die geene, door de welke de afteekening ge fchiet.
In ’t tweede Hooft-ftuk hebben wy aangeweezen, ’t glas voor het voorwerp geplaatft zijnde, tuffchen den ziender en ’t voorwerp, recht of fcheefhoekig op de gront, de middelen om ’t voorwerp op ’t glas af te teekenen , zodanig of ons ’t voorwerp zelfs vertoonden: maar nu zullen wy regelen geven, 't glas vlak op de grond leggende , en ’t voorbeelt voor het glas geplaatft zynde de afteekening te vinden , welke regel van ’t grootfte gebruik is, en deze volgende regel is zodanig , dat ze genoegzaam zonder de voorgaande kan geleert werden: en de reden, die wy hebben gehad, om deze beide Hooft-ftukken voor aan te ftellen, is om dat de volgende daar van afhangen, en als gevolgen zyn, uit dit voorgaande; en om te toonen, dat de doorzichtkunde zuiverlyk wiskonftig is.
Maar eer wy ter zake komen, zullen wy alvorens eenige meetkun
dige werkftukken voor af befchryven , zeer dienftig zynde om te kennen , voor die geenen , welke de Meetkonft niet geleert hebben , en deze zyn van gedaante en inhout, als hier aan volgt.
Den hoek BAC is gegeeven gelyk den hoek B AE , daarom noemt men de hoeken B A C en B A E ieder regte hoeken : of anders zo op de lyn E C de lyn B A getoogen is, zodanig, dat den hoek B A C gelyk aan B A E is, zo noemt men deze regte hoeken.
Hier uit volgt dat den hoek E A D minder is, als Regt, en den hoek D A C meerder, en daarom noemt men den hoek D A E fcherpen hoek, maar den hoek DAG wert botten hoek geheeten, in F. no. 1.
I. Werkftuk.
Om uit een gege eve punt in een gegeeve lyn, een lyn te trekken rechthoekig op de gegeeve lyn.
’t Werk; laat ’t punt in de gegeeve lyn zyn E , en maakt EO gelyk EQ, trekt uit het punt O met een wyte na believen een boog, en met de zelfde wyte uit ’t punt Q een andere boog , deeze fnyden malkander in C , dan van C getoogen een lyn tot E , zo is C E regthoekig op O Q, in F. no. 1.
II. Werkftuk.
Om van een gegeeve punt buiten een gegeeve lyn , een lyn te trekken regt hoekig op de zelven.
Laat de gegeeve lyn zyn QO , en ’t punt hier buiten C , trekt uit ’t punt C een boog, zodanig, dat die de gegeeve lyn fnyt, als hier in D en F, dan getogen uit D met de wyte D C een boog, ook uit F met de zelfde wyte , een ander, deze fnijden malkander in C : trekt ook met deze wijte uit de punten O en Q twee bogen, die malkander fnyden in A, dan getoogen C A gaande door de gegeeve lyn in O Q in E, zo is C E of AE rechthoekig op OQ, in F. no. 2.
III. Werkftuk.
Om aan een voorgegeve lyn een ander te trekken , zijnde met de zelve
evenwijdig.
Laat deeze voorgegeeve lyn zijn C D : verkieft in de zelve een punt na gevalle als hier F: trekt uit F een lijn als F A met een hoek P zo gy wilt, trekt dan van A een lyn , zodanig, dat den hoek Q gelyk P is, zo zal de lijn van A getoogen, cvenwydig aan C D zyn, in F. no. 3.
IV. Werkftuk.
Om van een voorgegeeve lijn, een vierkant te maken.
Laat de voorgegeve lyn zijn B, maakt aan de zelvegelijk CB , een der zijde van ’t vierkant: trekt met de lengte C B uit de punten C, en B twee boogen , de welke malkander fnijden in X , deelt B X of CX in twee gelijke deelen, maakt XE en XD ieder, gelyk de helft van B X of CX, en getoogen BD, ED en E C, zo is BDE CB ’t begeerde vierkant, in F. no. 4.
V. Werkftuk.
Om van twee voorgegeve lijnen een raam te maken:
Laat AC gelijk A wezen , en trekt van de punten A en C twee lijnen rechthoekig op A C, zodanig als in ’t I werkftuk geleert is , als deze CD en AB ieder gelyk de lijn B , dan getoogen BD , zoo is. C D B A C ’t begeerde raam, in F. no. 5.
VI. Werkftuk.
Om van eengegeeve lyn, een gclijkzijdigen driehoek te maken.
Laat de voorgegeeve lijn zijn E, maakt F E gelyk E, dan van de beide punten F en E getoogen twee boge (met de zelfde wyte van FE) de welke malkander fnijden in G, dan getogen FG, EG , zo is FGEF de gelykzijdigen driehoek, in F. no.6.
VIL Werkftuk.
Om van twee gegeeve lijnen , een gelijk beenigen driehoek temaken.
Laat de beide gegeeve lynen zijn Een Dj en maakt E D gelijk aan de gegeeve lijn E, en trekt van de punten D, E met de lengte van de lijn D twee bogen, deze fnijden malkander in C, dan getogen DC, E C, zo is deze de begeerde gelyk beenigen driehoek, in F. no. 7.
VIII. Werkftuk.
Om een hoek te maken, even zijnde, aan eenvoorgegeeve r egt linife
hoek.
Laat de voorgegeeve recht linife hoek zijn EAD: trekt uit ’t punt A van D een boog ,fnijdende de lyn AE in C : trekt dan een rechte lijn na believen, als deze F G, dan van ’t punt F uit G getoogeneen boog, zodanig, dat F G gelyk is aan AD , dan uit G met de wyte D C getrokken een andere boog, fnijdende den boog G Q in X, en getoogen hebbende F X zo is den hoek X F G gelyk aan CAD, in F. no, 8.
IX. Werkftuk.
Om van drie gegeeve punten een vierde te vinden , hebbende van de zelve gelyke afftant.
Laat de drie gegeeve punten zyn A, B en C : trek van de punten A en B met een zelfde wijte twee boogen , de welke malkander fnijden , ook van de punten B en C, dan door deze fnijdende punten ge- toogen twee lijnen, deze fnyden malkander in X , zo is deze X het begeerde punt , hebbende een gelijke afftant van de punten A, B, C, in F. no. 9.
X. Werkftuk.
Alle de punten te vinden , hebbende van een gegeeve punt een gelyke afflant.
Laat het gegeevc punt zyn D: en verkieft een lengten nau believen, als deze D X trekt dan met deze D X een ront om ’t middelpunt D, zo hebben alle de punten X een gelyke afftant van ’t punt D , in F. no. 1o.
XI. Werkftuk.
In een gegcve oneindige lijn, een punt te vinden , hebbende van twee
gegeeve punten gelyke afftant.
Laat de gegeeve punten zyn A en B , en de oneindige lyn D: trekt uit de punten A en B twee bogen, zodanig, dat deze malkander fnyden als hier in O en Q, en getrokken door de fnijdende punten een rechte lyn, deze gaat door d’oneindige lyn D en wyft aan ’t begeerde punt X; hebbende van A en B gelyke afftant, in F. no. 11.
XII. Werkftuk.
Om een gegeeve regtlinifche hoek in twee gelyke deele te deelen.
Laat de gegeeve rechtlinifche hoek zyn B A C : trekt uit ’t punt A een boog na believen als deze Q O, trekt uit de punten Q, O met een lengte na gevalle twee bogen , deze fnyden malkander in D , dan getogen van A door D een rechte lijn , deze deelt den hoek B AC in tween, gelyk in F. no. 12.
XIII. Werkftuk.
Om een gegeeve lyn in zo veel gelyke deelen te deelen, als men wil.
Laat de gegeeve lyn zyn AB , en men begeert de zelve te deelen in Vyf gelijke , zo trekt uit het punt A een lyn met zodanigen hoek, als men wil, gelyk deze AF: brengt op deze AF u vyf gelyke deelen,
als van A tot D gedaan is , en trekt van D een lyn tot B , en uit alle de deelen lijnen getogen evenwydig aan DB, zo zal hier door de lyn A B in vyf gelyke, gedeelt zyn, in F.no. 13.
XIV. Werkftuk.
Om tot drie evenredige een vierde zodanig te vinden.
Trekt twee lynen na gevallen en met een hoek , zodanig alsgy wilt: maakt in deze de drie gegeve evenredige lynen, als deze z, benc dan getoogen twee evenwydige lijnen, deze bepaalen de vierde evenredige x; dat is a tot b, als c tot x, in F, no. 14.
XV. Werkftuk.
Om tot twee voorgegeeve lijnen, een derde evenredige te vinden.
Deze is ’t zelfde als de voorgaande, behalven dat de voorgegeve lyn b alhier tweemaal genomen wert; en dan is a tot b als b tot x , als in F.no. i5.
XVI. Werkftuk.
Om taffehen twee voor gegeve lynen een middel evenredige te vinden.
Laat de beide evenredige, de welke gegeeven zyn A B , B C wezen, deelt AC in twee gelyke deelen, en op de zelve getogen een halfront; dan B D rechthoekig op A C: zo is deze B D middel evenredig tuffen A B en B C, in F. no. 16.
XVII Werkftuk.
In een gegeve ront , een gelykzydigen driehoek te befchryven.
Verkies in ’t gegeve ront een punt na believe, en trekt met de halve middellyn van dit ront den boog AC, en getoogen de rechte lyn AC: zo wert de reft voltrokken als in ’t werkftuk getoont is, in F. no. 17.
XVlIl. Werkftuk
In een gegeve ront, een vierkant te befchryven.
Laat in ’t gegeeve ront, de beide middellynen F H > E C , zodanig getoogen zyn, dat de zelve malkander rechthoekig doorfnyden in het middelpunt D, dan getoogen , EH, HCj CF en FE, deeze bepaalen het vierkant, in F. no. 18.
XIX. Werkftuk.
Om in een gegeeve ront, een vyfboek te befchryven.
Deelt de halve middellyn A O in tween , gelyk in Q, en getoogen QR: trekt met de lengte Q R. een boog RF, en dan trekt de rechte R F , deze gaat vyfmaal in de omtrek, in F. no. 19.
XX. Werkftuk.
In een voorgegeve ront, een zes hoek te befchryven.
Deze is zeer eenvoudig, want neemende de halve middellyn van’t gegeeve ront, die zal zesmaal in de omtrek gaan , in F. no. 20. en dit is genoeg van de meetkundige werkftukken voor zo ver de zelve ons tot dit voorneemen dienftig zyn, wy zullen nu wederom tot ons werk gaan.